GermanWikipedia - /page/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Schnittgerade</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Schnittgerade</h1>

</header>

</div>

Eine Schnittgerade ist ein Begriff der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a>. Zwei <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebenen</a> im dreidimensionalen <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a>, die nicht <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallel</a> zueinander sind, schneiden sich immer; die <a href="Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Schnittmenge</a> ist dabei eine Gerade, die als Schnittgerade bezeichnet wird.

In der <a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">analytischen Geometrie</a> werden Schnittgeraden – wie alle Raumgeraden – mithilfe von Gleichungen beschrieben, vorzugsweise durch <a href="Parameterform#Verallgemeinerung" title="Parameterform">Parametergleichungen</a>. Ein typisches Problem besteht darin, eine Parametergleichung der Schnittgeraden zu bestimmen, wenn die Gleichungen der sich schneidenden Ebenen gegeben sind.

Ist eine der sich schneidenden Ebenen eine <a href="Koordinatenebene" title="Koordinatenebene">Koordinatenebene</a>, so nennt man die Schnittgerade <a href="Spurgerade" title="Spurgerade">Spurgerade</a>.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Besitzen mehrere Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, so spricht man von einem <a href="Ebenenb%C3%BCschel" title="Ebenenbüschel">Ebenenbüschel</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeines">Allgemeines</h2></div>

Zwischen zwei Ebenen im Raum können folgende <a href="Lagebeziehung" title="Lagebeziehung">Lagebeziehungen</a> bestehen:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<ul><li>Die beiden Ebenen sind parallel zueinander, aber nicht gleich („echt parallel“);</li>

<li>Die beiden Ebenen sind gleich;</li>

<li>Die beiden Ebenen sind nicht parallel zueinander und schneiden sich in einer Geraden, der Schnittgeraden.</li></ul>

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um die Parametergleichung der Schnittgeraden zu berechnen. Eine geeignete Wahl hängt unter anderem davon ab, in welcher Form (<a href="Normalenform" title="Normalenform">Normalenform</a>, <a href="Parameterform" title="Parameterform">Parameterform</a>) die sich schneidenden Ebenen jeweils beschrieben sind. Insgesamt lassen sich drei Fälle unterscheiden: Es können beide Ebenen als Normalenform oder als Parameterform vorliegen, oder eine Ebene liegt in Normalenform und die andere in Parameterform vor. Für jeden Fall gibt es Verfahren, die direkt an den Gleichungen der vorliegenden Ebenen ansetzen. Alternativ kann man zunächst eine oder beide Ebenengleichungen in eine andere Form umwandeln und dann eines der Verfahren für diesen Fall anwenden.

Alle Verfahren laufen darauf hinaus, eine lineare Gleichung oder ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Ist die entsprechende Gleichung bzw. das lineare Gleichungssystem lösbar und hat eine einparametrige Lösungsmenge, so sind die gegebenen Ebenen nicht parallel zueinander und haben eine Schnittgerade. Ist sie zweiparametrig, so sind die beiden Ebenen gleich. Gibt es keine Lösung, so sind die Ebenen echt parallel zueinander.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schnitt_einer_Ebene_in_Normalenform_mit_einer_Ebene_in_Parameterform">Schnitt einer Ebene in Normalenform mit einer Ebene in Parameterform</h2></div>

Gegeben seien eine Ebene in Normalenform,

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f0b12f5915019b84b109833c16296c0ec3ad6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.102ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=d}" loading="lazy">,</dd></dl>

und eine Ebene in Parameterform,

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}+r{\vec {u}}+s{\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0a021d720c7437f6200349d2d0c4037a0e18a8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.462ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}+r{\vec {u}}+s{\vec {v}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Zur Bestimmung der Schnittgerade setzt man zunächst die Parametergleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy"> in die Normalengleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> ein und wendet das Distributivgesetz und Assoziativgesetz für Skalarprodukte an. Das liefert die Gleichung<a href="#cite_note-4">[4]</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {p}}+r\,{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}+s\,{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e03646436c757126e2b0c52b37a47634be950e9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.96ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {p}}+r\,{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}+s\,{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=d}" loading="lazy">.</dd></dl>

Sind die Ebenen nicht parallel, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\neq 0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3aa818abd1c2f7516e254cb6513db38f8d73cfc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.664ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\neq 0}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\neq 0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c15cbb570ed377972c56b7a049ed9a8a9291b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.51ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}\neq 0}" loading="lazy"> und diese Gleichung lässt sich nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> oder nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy"> auflösen. Mit der dadurch erhaltenen Gleichung lässt sich ein Parameter in der Gleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel">Beispiel</h3></div>

Die beiden Ebenen seien gegeben durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\colon \ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20fc3ec5c37d13b6ca429d0becdfe63d08b5af91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:17.635ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\colon \ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=1}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53579c56b076892a2341c3327bad4c92997bdda1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:38.191ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Einsetzen der Parametergleichung in die Normalengleichung liefert

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot \left[{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}\right]=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/601893c8fd7397622f53f7fb9f72e8180cf056bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:44.4ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot \left[{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}\right]=1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese Gleichung liest sich nach Anwendung der Rechengesetze für das Skalarprodukt als

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0748dcdcf56b821bb9d3bbcf0ac6f2a21e560a38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:56.619ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}=1}" loading="lazy">.</dd></dl>

Ausrechnen der Skalarprodukte und Umstellen liefert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=-3-r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=-3-r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0391fded4bc2713040afb8a7c86f60a035e2da13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s=-3-r}" loading="lazy">. Die Lösungsmenge der Gleichung ist einparametrig, folglich haben <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy"> eine Schnittgerade. Um diese zu bestimmen, ersetzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=-3-r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=-3-r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0391fded4bc2713040afb8a7c86f60a035e2da13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s=-3-r}" loading="lazy"> in der Parametergleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+(-3-r){\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27135a188f336f916116eea4b5f922d2ee196246.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:41.385ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}}+(-3-r){\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Nach Anwendung der Rechenregeln für Vektoren erhält man hieraus schließlich eine Parameterdarstellung für die Schnittgerade:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-5\\-2\\10\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb518161d0f5414f74078817c635afcae4269cb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:26.626ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-5\\-2\\10\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schnitt_zweier_Ebenen_in_Parameterform">Schnitt zweier Ebenen in Parameterform</h2></div>

Gegeben seien zwei Ebenen

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{1}+r{\vec {u}}_{1}+s{\vec {v}}_{1}\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d88f3e5e8ce61e891e787b2c367f25cc0b9825a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.948ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{1}+r{\vec {u}}_{1}+s{\vec {v}}_{1}\quad }" loading="lazy">und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{2}+r{\vec {u}}_{2}+s{\vec {v}}_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{2}+r{\vec {u}}_{2}+s{\vec {v}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c638b676277b9126784ee9f2862abebe2e993b6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.948ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\vec {p}}_{2}+r{\vec {u}}_{2}+s{\vec {v}}_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Gleichsetzen der beiden Parametergleichungen liefert die Vektorgleichung<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{1}+r_{1}{\vec {u}}_{1}+s_{1}{\vec {v}}_{1}={\vec {p}}_{2}+r_{2}{\vec {u}}_{2}+s_{2}{\vec {v}}_{2},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/354fa9004b0426e0aa0841c7ab503d983283e2bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:37.677ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{1}+r_{1}{\vec {u}}_{1}+s_{1}{\vec {v}}_{1}={\vec {p}}_{2}+r_{2}{\vec {u}}_{2}+s_{2}{\vec {v}}_{2},}" loading="lazy"></dd></dl>

die sich in ein lineares 3×4 Gleichungssystem in den Unbekannten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1},r_{2},s_{1},s_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1},r_{2},s_{1},s_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54f4e5a9dbb209b243cacd66d7e3ab8411b3b9e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.597ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{1},r_{2},s_{1},s_{2}}" loading="lazy"> übersetzen lässt. Dieses Gleichungssystem lässt sich auf eine Gleichung in zwei Variablen zurückführen, die sich, sofern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy"> nicht parallel zueinander sind, nach einer Variablen auflösen lässt. Damit kann man beispielsweise den Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cbe9b0b294fdd6fadbf9a7249813f016dcbc44f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{2}}" loading="lazy"> in Abhängigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4b9a7acc0ae8f54da4b7f4eef2c777d44faecd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{2}}" loading="lazy"> ausdrücken und in der <a href="Ebenengleichung" title="Ebenengleichung">Ebenengleichung</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_2">Beispiel</h3></div>

Die beiden Ebenen seien gegeben durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+r_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}+s_{1}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc54854a72119ba0878c7b30b6be8624244165b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:44.43ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}+r_{1}{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}+s_{1}{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25d4bfeb716176fd2bd0faa3e44108453caa2ffa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:40.814ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+r_{2}{\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man das Gleichungssystem

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&2r_{1}&-&2r_{2}&-&s_{1}&-&s_{2}&=&0\\&r_{1}&-&2r_{2}&+&s_{1}&&&=&2\\&-r_{1}&+&r_{2}&&&&-s_{2}&=&0\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9ccd647dd80d48a1f896bde6b0d67be4ede6a98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:43.324ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&2r_{1}&-&2r_{2}&-&s_{1}&-&s_{2}&=&0\\&r_{1}&-&2r_{2}&+&s_{1}&&&=&2\\&-r_{1}&+&r_{2}&&&&-s_{2}&=&0\end{matrix}}}" loading="lazy">

Es hat eine einparametrige Lösungsschar. Wählt man z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{2}=t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{2}=t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b01057628b5a0c8a1dca4d1b43910e9196272f3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.083ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle s_{2}=t}" loading="lazy"> als freien Parameter, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}=-2-4t}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}=-2-4t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd2c25047b941d8bfaea4860d8483cf567a4eab8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.014ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{2}=-2-4t}" loading="lazy">. Einsetzen in die Parametergleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+(-2-4t){\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17a803cce752a29f18333340988912a3616ec6b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:40.321ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}+(-2-4t){\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Nach Anwendung der Rechenregeln für Vektoren erhält man hieraus für die Schnittgerade die Parameterdarstellung

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-7\\-8\\5\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5689bb47af203c44a974b9361e7529309efcbe7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:26.417ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-7\\-8\\5\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schnitt_zweier_Ebenen_in_Normalenform">Schnitt zweier Ebenen in Normalenform</h2></div>

Gegeben seien zwei Ebenen

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {x}}=d_{1}\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c72ef7f9388a870f6f0a922c2e9f0188edb5e743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.526ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\colon \ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {x}}=d_{1}\quad }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {x}}=d_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {x}}=d_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59d84eb6894140abd9c117ca9e49890135f9a97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.526ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {x}}=d_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy"> sind nicht parallel zueinander, wenn die beiden Normalenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acbf48bafc3b6cf0e478ad755f0c5ddabfebc2c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.932ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2}}" loading="lazy"> in verschiedene Richtungen zeigen, also keine Vielfachen voneinander sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Methode_1">Methode 1</h3></div>

Die beiden Normalengleichungen liefern ein lineares 2×3 Gleichungssystem mit den Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y,z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y,z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbeca34b28f569a407ef74a955d041df9f360268.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.641ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y,z}" loading="lazy"> als Unbekannten. Um dieses unterbestimmte Gleichungssystem zu lösen, wird es zunächst auf Zeilenstufenform gebracht und eine der Unbekannten der untersten Zeile als Parameter gesetzt; die anderen beiden Koordinaten lassen sich dann in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken. Wendet man auf den Lösungsvektor, dessen Komponenten nun alle in Abhängigkeit des Parameters ausgedrückt sind, elementare Rechengesetzt für Vektoren an, so gelangt man zu einer Parametergleichung der Schnittgeraden.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel_3">Beispiel</h4></div>

Die beiden Ebenen seien gegeben durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}\colon \ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=1\quad }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9090cb1d65e8f8875d37e8aea4ada5d621aad875.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:19.957ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle E_{1}\colon \ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=1\quad }" loading="lazy">und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=2}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c8283f717cd509e4136b625332bcebe2dd1d9ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.765ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \quad E_{2}\colon \ {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}\cdot {\vec {x}}=2}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Normalenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,2,1)^{T}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,2,1)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1e11d3c40b1244d8c22d9dc409d5d51024d32302.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.754ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (1,2,1)^{T}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2,-3,2)^{T}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2,-3,2)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d2c55544c7976a0f9264111422eebae30f067cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.562ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (2,-3,2)^{T}}" loading="lazy"> sind keine Vielfachen voneinander, also sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy"> nicht parallel zueinander und haben eine Schnittgerade. Deren Punkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)^{T}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7023f00b98a51b22cda24e65cd23f9806a6c5ed7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.268ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)^{T}}" loading="lazy"> erfüllen das lineare Gleichungssystem

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&x&+&2y&+&z&=&1\\&2x&-&3y&+&2z&=&2\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1617ff792cc9f561024b2750d35074fff0d3265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.657ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&x&+&2y&+&z&=&1\\&2x&-&3y&+&2z&=&2\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

2-mal die erste Gleichung minus 1-mal die zweite Gleichung ergibt das Gleichungssystem in Zeilenstufenform:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&x&+&2y&+&z&=&1\\&&&7y&&&=&0\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8f83b489f70e9311f68466a7b8551128e8dc054.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.332ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&x&+&2y&+&z&=&1\\&&&7y&&&=&0\end{matrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Unbekannte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> kann frei gewählt werden: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d785b28ccd3fd662df6c0302c29b9eea4e1a98a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.026ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z=t}" loading="lazy">. Nachdem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/094f824655138f6b11d96a0da32e7f0716ba6959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.416ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=0}" loading="lazy"> ist, liefert ein Einsetzen in die erste Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=1-t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=1-t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4b35e46a9a57ee2812f80f69d38bd75d5f7e738.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.271ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x=1-t}" loading="lazy">. Also lassen sich alle Lösungsvektoren schreiben als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}=(1-t,0,t)^{T}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}=(1-t,0,t)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3319bbbd8e6aadcdb8cb35fa710c688b114280a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.539ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}=(1-t,0,t)^{T}}" loading="lazy">, woraus man schließlich für die Schnittgerade die Parameterdarstellung erhält:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/678e1a72d80a8d11b0782269062ea16a86dc91a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.878ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Methode_2">Methode 2</h3></div>

Da die Schnittgerade in beiden Ebenen liegt, stehen die beiden Normalenvektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af6106a15971b1bd3730cfcef1b229168997ce8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/657a5d222dde14d11d287e61b00bf3d937c6bec5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}" loading="lazy"> senkrecht auf dem Richtungsvektor der Schnittgeraden. Als Richtungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" loading="lazy"> der Schnittgeraden kann somit das Kreuzprodukt der Normalenvektoren genutzt werden: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac190794c0d84bc15d27219c3284792ccd7c1aaf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.166ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Für den Stützvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> betrachtet man den Schnittpunkt der Ebenen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{3}\colon \ {\vec {x}}=r{\vec {n}}_{1}+s{\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39e6d20ae5f1f6bec164f997cb130caab63608c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.69ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle E_{3}\colon \ {\vec {x}}=r{\vec {n}}_{1}+s{\vec {n}}_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Er liegt in allen drei Ebenen und somit auch auf der Schnittgeraden von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6ee346e54f38302f47b5cf3016d8718f2040c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{2}}" loading="lazy">. Somit lässt sich sein Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> als Stützvektor verwenden. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> insbesondere in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/395f570db7ae98f5a9a0d7b8436ae8c61ce5ebdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{3}}" loading="lazy"> liegt, lässt er sich schreiben als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=r_{0}{\vec {n}}_{1}+s_{0}{\vec {n}}_{2}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=r_{0}{\vec {n}}_{1}+s_{0}{\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4909ca117ee456b045e73447f21ee8d2f52cfd6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:16.499ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=r_{0}{\vec {n}}_{1}+s_{0}{\vec {n}}_{2}}" loading="lazy">. Um die Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb12fcfddb65e3d1e6a044215f6e833f0cd4337b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25c32f35eb134d23b3c45f1c878d59b0a112ede4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{0}}" loading="lazy"> zu finden, setzt man die Gleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/395f570db7ae98f5a9a0d7b8436ae8c61ce5ebdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{3}}" loading="lazy"> in die Gleichungen für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac42446bcd2cbb76ec8fe2895635d328da22e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{2}}</annotation>

</semantics>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&r\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}&+&s\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}&=&d_{1}\\&r\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}&+&s\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}&=&d_{2}\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/814983d97f1bf6f09ee371bdbb2abfb4d7b09121.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.698ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&r\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}&+&s\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}&=&d_{1}\\&r\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}&+&s\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}&=&d_{2}\end{matrix}}}" loading="lazy">

in den Unbekannten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}" loading="lazy">. Auflösen und Einsetzen der eindeutigen Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r_{0},s_{0})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r_{0},s_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c4896b38c2726c2935fe800bd90d82f1182ef31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r_{0},s_{0})}" loading="lazy"> in die Gleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel_4">Beispiel</h4></div>

Für die Ebenen aus dem letzten Beispiel erhält man den Richtungsvektor der Schnittgerade als

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\0\\-7\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c72dbffc476a48f1cab5f3854f68e7af29ea8be1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:31.926ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\0\\-7\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für den Stützvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}" loading="lazy"> erhält man mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}=6,\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}=17,\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}=-2}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}=6,\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}=17,\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}=-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd34701517a96c03cceaa5bf0596ed047ae876ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:38.714ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{1}=6,\ {\vec {n}}_{2}\cdot {\vec {n}}_{2}=17,\ {\vec {n}}_{1}\cdot {\vec {n}}_{2}=-2}" loading="lazy"> das lineare Gleichungssystem

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}&6r&+&-2s&=&1\\&-2r&+&17s&=&2\end{matrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2ff48dfaf3dfd6bf24395785c5a5e03480f7bf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.223ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}&6r&+&-2s&=&1\\&-2r&+&17s&=&2\end{matrix}}}" loading="lazy">

Es hat die eindeutige Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}=3/14,\ s_{0}=2/14}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}=3/14,\ s_{0}=2/14}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b706010c684efcc3d4d82d1d33f0dbf099bde657.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r_{0}=3/14,\ s_{0}=2/14}" loading="lazy">. Damit erhält man den Stützvektor

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{14}}{\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ad1d3bd9efdf09ce44d7bcfc31ad8bd176b386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; margin-left: -0.089ex; width:38.849ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {3}{14}}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}+{\frac {2}{14}}{\begin{pmatrix}2\\-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Also ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\0\\-7\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05698847e8a9af030091384db6a5ebcb6b3358c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:26.933ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}1/2\\0\\1/2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}7\\0\\-7\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine (etwas andere) Parameterdarstellung der Schnittgerade beider Ebenen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Schnittkurve" title="Schnittkurve">Schnittkurve</a></li>

<li><a href="Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkt</a></li>

<li><a href="Schnittwinkel_(Geometrie)" title="Schnittwinkel (Geometrie)">Schnittwinkel (Geometrie)</a></li>

<li><a href="Lagebeziehung" title="Lagebeziehung">Lagebeziehung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Michael Jung: Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie. Springer Spektrum, Wiesbaden 2024, ISBN 978-3-658-03261-6, S. 594–611.</li>

<li>Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr). 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 89–90.</li>

<li>Gerhard Merziger, Thomas Wirth: Repetitorium höhere Mathematik. 6. Auflage. Binomi-Verl, Barsinghausen 2010, ISBN 978-3-923923-34-2, S. 154–155.</li>

<li>Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band III. 15. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun 1978, ISBN 978-3-87144-041-0, S. 188–189.</li>

<li>Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra. 4. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 533–534.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden Die Mathematik II</cite>. 1991, S. 89.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schnittgerade&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+Die+Mathematik+II&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=89" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Goebbels, Ritter: <cite style="font-style:italic">Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und

Integralrechnung, Lineare Algebra</cite>. 2023, S. 533.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schnittgerade&rft.au=Goebbels%2C+Ritter&rft.btitle=Mathematik+verstehen+und+anwenden%3A+Differenzial-+und%0AIntegralrechnung%2C+Lineare+Algebra&rft.date=2023&rft.genre=book&rft.pages=533" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <cite style="font-style:italic">Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs</cite>. Volk und Wissen, Berlin 2000, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 164.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schnittgerade&rft.btitle=Analytische+Geometrie%3A+Lehrbuch+f%C3%BCr+die+Sekundarstufe+II%3B+Gymnasium.+Leistungskurs&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=9783060011735&rft.pages=164&rft.place=Berlin&rft.pub=Volk+und+Wissen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Jung: <cite style="font-style:italic">Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie</cite>. 2024, S. 605.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schnittgerade&rft.au=Jung&rft.btitle=Ebene+Trigonometrie+%26+Analytische+Geometrie&rft.date=2024&rft.genre=book&rft.pages=605" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr).</cite> 1991, S. 89.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schnittgerade&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+Die+Mathematik+II+%2811.-13.+Schuljahr%29.&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=89" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Jung: <cite style="font-style:italic">Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie</cite>. S. 603.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Schnittgerade&rft.au=Jung&rft.btitle=Ebene+Trigonometrie+%26+Analytische+Geometrie&rft.genre=book&rft.pages=603" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2026-01-02" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Schnittgerade&oldid=262962605">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>